11. Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση y = αx – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Η συνάρτηση y = αx

1.1 Ποσά ανάλογα – Η συνάρτηση $y = \alpha x$

Θεωρία και Ορισμοί

Ορισμός Ανάλογων Ποσών: Δύο συμμεταβλητά ποσά $x$ και $y$ ονομάζονται κατευθείαν ανάλογα (ή απλώς ανάλογα), όταν ο πολλαπλασιασμός της τιμής του ενός επί έναν αριθμό συνεπάγεται τον πολλαπλασιασμό της αντίστοιχης τιμής του άλλου επί τον ίδιο αριθμό.
Συντελεστής Αναλογίας: Σε δύο ανάλογα ποσά, ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι πάντοτε σταθερός. Ο σταθερός αυτός αριθμός $\alpha$ (όπου $y/x = \alpha$) ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.
Η Συνάρτηση $y = \alpha x$: Η μαθηματική σχέση που συνδέει δύο ανάλογα ποσά εκφράζεται από τη συνάρτηση της μορφής $y = \alpha x$. Εδώ, το $x$ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και το $y$ η εξαρτημένη μεταβλητή ή συνάρτηση του $x$.

Ιδιότητες

Λογική Αναλογία: Αν $(x_1, y_1)$ και $(x_2, y_2)$ είναι δύο ζεύγη αντίστοιχων τιμών, τότε σχηματίζουν την αναλογία $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$.
Διέλευση από το Μηδέν: Αν η τιμή της μίας μεταβλητής είναι μηδέν, τότε και η άλλη είναι μηδέν.
Γραφική Παράσταση: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = \alpha x$ είναι πάντοτε μια ευθεία γραμμή (ή ημιευθεία αν περιοριζόμαστε σε θετικές τιμές) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $(0,0)$.

Συμβουλή

Μετακινήστε (κλικ και σύρτε) τον δρομέα α για να αλλάξετε την τιμή του α.

Τι παρατηρείτε;

Όταν το α είναι θετικό
Όταν το α είναι αρνητικό

Παραδείγματα

Η χρηματική αξία ενός υφάσματος σε σχέση με το μήκος του (π.χ. αν το μέτρο κοστίζει 8 €, $y = 8x$).
Το ημερομίσθιο ενός εργάτη σε σχέση με τις ημέρες εργασίας του (π.χ. αν παίρνει 100 € την ημέρα, $y = 100x$).
Το διανυόμενο διάστημα $s$ στην ομαλή κίνηση σε σχέση με το χρόνο $t$ ($s = vt$).
Η περίμετρος ενός τετραγώνου $y$ σε σχέση με την πλευρά του $x$ ($y = 4x$).
Η αξία αγοράς ποσοτήτων ψωμιού αν η τιμή ανά κιλό είναι σταθερή (π.χ. 2 €/kg, $y = 2x$).

Ασκήσεις

Αν 1 kg πορτοκάλια κοστίζει 1,75 €, γράψτε τη συνάρτηση της αξίας $y$ για $x$ κιλά.
Συντάξτε πίνακα τιμών για τη συνάρτηση $y = 40x$ για $x =-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.
Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = -2x$.
Βρείτε τον συντελεστή αναλογίας αν για $x = 3$ η τιμή της συνάρτησης είναι $y = 15$.
Ελέγξτε αν τα ποσά $x$ και $y$ στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα εξετάζοντας το λόγο $\dfrac{y}{x}$.

block-beta
  
  block:group
  columns 7
    a["x"] b["-3"] c["-2"] d["-1"]  f["1"] g["2"] h["3"]
    k["y"] l[" -9  "] m[" -6 "] n[" -3 "] p[" 3 "] s["  6"] t[" 9 "] 
  end

block-beta
  
  block:group
  columns 7
    a["x"] b["-3"] c["-2"] d["-1"]  f["1"] g["2"] h["3"]
    k["y"] l[" -12  "] m[" -8 "] n[" 5 "] p[" 6 "] s["  8"] t[" 12 "] 
  end

Αν $y = 30x$, βρείτε το $y$ για $x = 4,5$ και το $x$ για $y = 120$.
Εξετάστε αν η περίμετρος ισοπλεύρου τριγώνου είναι ανάλογη της πλευράς του και βρείτε τον συντελεστή αναλογίας.
Εξηγήστε γιατί το εμβαδόν τετραγώνου δεν είναι ανάλογο της πλευράς του.
Δείξτε ότι τα σημεία $(1, 50), (2, 100), (3, 150)$ ανήκουν σε γραφική παράσταση ανάλογων ποσών.
Ένας τεχνίτης αμείβεται με 14 € την ώρα. Γράψτε τη συνάρτηση και βρείτε την αμοιβή για 8 ώρες.

1.2 Η κλίση της ευθείας $y = \alpha x$

Θεωρία και Ορισμοί

Γεωμετρική Ερμηνεία: Η γραφική παράσταση της $y = \alpha x$ είναι ευθεία που διέρχεται από το $(0,0)$.
Η έννοια της Κλίσης: Ο συντελεστής αναλογικότητας $\alpha$ καθορίζει τη “στροφή” ή την κλίση της ευθείας ως προς τους άξονες.
Ρυθμός Μεταβολής: Ο αριθμός $\alpha$ δείχνει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το $y$ σε σχέση με το $x$. Για κάθε μονάδα αύξησης του $x$, το $y$ αυξάνεται κατά $\alpha$ μονάδες.
Η σημασία του $\alpha$:
- Αν $\alpha > 0$, η ευθεία βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
- Αν $\alpha < 0$, η ευθεία βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο.
- Η κλίση υπολογίζεται από το λόγο της κατακόρυφης μεταβολής προς την οριζόντια μεταβολή: $\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=εφ \hat{θ}$.
Ειδικές Περιπτώσεις: Η ευθεία $y = x$ είναι η διχοτόμος των γωνιών του 1ου και 3ου τεταρτημορίου, ενώ η $y = -x$ του 2ου και 4ου.

Ιδιότητες

Σημείο Αναφοράς: Η ευθεία διέρχεται πάντοτε από το σημείο $(1, \alpha)$.
Μονοτονία: Αν ο συντελεστής $\alpha$ είναι θετικός, η συνάρτηση είναι αύξουσα.
Εξάρτηση από τη Σταθερά: Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή του $\alpha$, τόσο πιο “απότομη” είναι η κλίση της ευθείας ως προς τον άξονα των τετμημένων.
Σταθερότητα: Σε κάθε σημείο $(x, y)$ της ευθείας (εκτός της αρχής), ο λόγος $\dfrac{y}{x}$ παραμένει σταθερός και ίσος με την κλίση $\alpha$.

Παραδείγματα

Στη συνάρτηση $y = 30x$, η ευθεία περνά από το $(0,0)$ και το $(1, 30)$.
Στη συνάρτηση $y = x$, η κλίση είναι 1 και η ευθεία διχοτομεί τη γωνία των αξόνων.
Στη συνάρτηση $y = 5x$, για κάθε αύξηση του $x$ κατά 1, το $y$ “ανεβαίνει” κατά 5 μονάδες.
Σύγκριση των $y = 2x$ και $y = 4x$: η δεύτερη ευθεία έχει μεγαλύτερη κλίση και είναι πιο κοντά στον άξονα $y'y$.
Η συνάρτηση κόστους ρεύματος $y = 1,50x$ δείχνει γραφικά την κλίση που ορίζει η τιμή ανά kwh.

Ασκήσεις

Ποια είναι η κλίση $\alpha$ της ευθείας που διέρχεται από το $(0,0)$ και το σημείο $(2, 10)$;.
Σχεδιάστε την ευθεία $y = 3x$ και προσδιορίστε ένα σημείο της εκτός της αρχής.
Αν μια ευθεία $y = \alpha x$ διέρχεται από το σημείο $(1, 5)$, ποια είναι η τιμή του $\alpha$;.
Σχεδιάστε σε κοινό σύστημα τις $y = 2,5x$ και $y = 5,2x$. Ποια πλησιάζει περισσότερο τον άξονα των τεταγμένων;.
Εξετάστε αν το σημείο $(3, 9)$ ανήκει στην ευθεία με κλίση $\alpha = 3$.
Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της $y = x$ και αναφέρετε τη γωνία που σχηματίζει με τον $x'x$.
Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της $y = 5x$, βρείτε το $y$ για $x = 2,5$.
Αν $\alpha = -2$, σχεδιάστε την ευθεία $y = -2x$. Σε ποία τεταρτημόρια βρίσκεται:
Στη συνάρτηση αμοιβής $y = 100x$, τι αντιπροσωπεύει γεωμετρικά ο αριθμός 100 για την ευθεία;.
Βρείτε τον τύπο της ευθείας που διέρχεται από το $(0,0)$ και το σημείο $(5, 1)$.

1.3 ασκήσεις και προβλήματα για τη συνάρτηση $y = \alpha x$ και τα ανάλογα ποσά:

Συμπλήρωση Πίνακα: Αν τα ποσά $x$ και $y$ είναι ανάλογα με συντελεστή $\alpha=-2,5$ ($y=3x$), συμπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα και στη συνέχεια κάνε την γραφική παράσταση.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["x"] b["-3"] c["-2"] d["-1"] e["0"] f["1"] g["2"] h["3"]
    k["y"] l["   "] m["  "] n["  "] p["  "] s["  "] t["  "] q["  "]
  end

Εύρεση Εξίσωσης: Βρες την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και από το σημείο $A(2, 6)$.
Πρόβλημα Ταχύτητας: Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα $70$ χλμ/ώρα. Εκφράστε την απόσταση $S$ ως συνάρτηση του χρόνου $t$. Κάντε την γραφική παράσταση της $S$ συναρτήσει του χρόνου $t$
Αύξηση Τιμών: Οι τιμές των προϊόντων αυξήθηκαν κατά $20\%$. Βρες τη σχέση που εκφράζει τη νέα τιμή $y$ ως συνάρτηση της παλιάς τιμής $x$ και αφού συμπληρώσετε τον πίνακα, να κάνετε την γραφική παράστασταση.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["x €"] b["20 €"] c["60 €"] d["100"] e["110"] f["140"] g["200"] h["300"]
    k["y €"] l["   "] m["  "] n["  "] p["  "] s["  "] t["  "] q["  "]
  end

Γραφική Παράσταση: Σχεδίασε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων την ευθεία $y = -0,82x$, βρίσκοντας ένα επιπλέον σημείο εκτός από την αρχή των αξόνων.
Παραγωγή Προϊόντος: Μια εταιρεία παράγει $0,4$ λίτρα χυμό από κάθε κιλό πορτοκάλια.

Εκφράστε την ποσότητα χυμού $y$ ως συνάρτηση των κιλών πορτοκαλιών $x$.
Κάντε ένα πίνακα τιμών με 4 διαφορετικές τιμές του $x$.
Κάντε την γραφική παράσταση.

Γεωμετρία: Εκφράστε την περίμετρο $Π$ ενός τετραγώνου ως συνάρτηση της πλευράς του $x$ και εξήγησε γιατί τα ποσά αυτά είναι ανάλογα.
Ισοτιμία Νομισμάτων: Αν η ισοτιμία είναι $100$ € προς $108$ $, βρες τη συνάρτηση $y = \alpha x$ που μετατρέπει τα ευρώ ($x$) σε δολάρια ($y$).

Πόσα € είναι τα 238 $.
Πόσα $ είναι τα 340 €.

Υπολογισμός Κλίσης: Βρες την κλίση $\alpha$ μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο $A(-1, 3)$.
Θεωρία Τεταρτημορίων: Εξήγησε σε ποια τεταρτημόρια βρίσκεται η ευθεία $y = \alpha x$ όταν ο συντελεστής $\alpha$ είναι θετικός και σε ποια όταν είναι αρνητικός.
Αν τα ποσά κ και λ είναι ανάλογα , να συμπληρώσετε τον πίνακα.

block-beta
  
  block:group
  columns 8
    a["κ"] b["5 "] c["12"] d[" "] e["16"] f[" "] g["28"] h[" "]
    k["λ"] l[" 4"] m["  "] n[" 12 "] p["  "] s["16"] t["  "] q["18"]
  end

Ποιά από τα παρακάτω γραφήματα είναι γραφήματα ανάλογων ποσών

Γράφημα 1	Γράφημα 2	Γράφημα 3	Γράφημα 4

Να σχεδιάσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων μια ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων και να έχει κλίση $a=1,2$
Ποιά ευθεία από τις πατακάτω έχει κλίση α=0,8

Ευθεία 1	Ευθεία 2	Ευθεία 3	Ευθεία 4
$y=\dfrac{4}{5}x$	$y=-0,8x$	$y=\dfrac{8}{5}x$	$y=-\dfrac{8}{10}x$

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !

11. Ποσά ανάλογα - Η συνάρτηση y = αx

1 Η συνάρτηση y = αx

1.1 Ποσά ανάλογα – Η συνάρτηση \(y = \alpha x\)

1.2 Η κλίση της ευθείας \(y = \alpha x\)

1.3 ασκήσεις και προβλήματα για τη συνάρτηση \(y = \alpha x\) και τα ανάλογα ποσά: